追光课堂 | 解密高斯光束：激光技术背后的物理奥秘

联合光科

      您是否注意过，当激光笔的光斑投射在墙面上时，它的边缘总是朦胧如雾，而中心却明亮如星？这种看似简单的光斑背后，隐藏着一种跨越数学与物理的深邃规律——高斯光束。
      今天，我们将揭开这束光的密码：它是如何被数学预言，又如何成为激光技术的灵魂？
      光束在垂直于光轴平面上的电场可由高斯方程  表示，有时还会有附加的抛物线型相位曲线。
      尤其是在激光物理中，激光光束通常为高斯光束，是以数学家和物理学家Johann Carl Friedrich Gauß命名。这时功率为P的光束光强的横断面可由高斯方程表示：  

高斯光束

这里光束半径w(z)为光强降为峰值的1/e2 (≈ 13.5%)时距光轴的距离。孔径半径为w时可以透射约86.5%的光功率。如果孔径半径为1.5w或者2w，传输比例分别提高到 98.9%和99.97%。             除了强度可以采用高斯方程描述，高斯光束的横向相位曲线可由最多二阶多项式来描述。在一个方向上相位的线性变化可由一个倾角描述，相位的二阶变化则与光束的发散和会聚相关。      

高斯光束的传输     
      通常在傍轴近似适用的情况下将光束看做高斯光束，即光束发散角比较小。这一近似下，传播方程中的二阶导数项可以忽略，只得到一阶微分方程。并且采用这种近似时，高斯光束在自由空间中传播仍然保持高斯型，其参数会发生一些变化。一束单色光束，波长为 λ，在z轴传播时，电场的复振幅为：

高斯光束公式

      最大幅值为|E0|，束腰处的光束半径为 w0，波数 k = 2π / λ，zR为瑞利长度，波前的曲率半径为R(z)。震荡的实数电场可以通过乘以相位因子exp(i 2π c t / λ) 并且取实部得到。

图1：高斯光束焦点处的电场分布。这时光束半径比波长稍大，光束发散角很大。根据以上方程，场由左侧向右侧移动。

在传播方向上的光束半径变化为：  
  

高斯光束公式

其中瑞利长度为：
  

高斯光束公式

      决定了在多长距离范围内光束不会发散很严重的传播（之前通常采用共焦长b描述，它是瑞利长度的二倍）。准直光束（光束半径接近于常数）的瑞利长度与传播距离相比比较大。  

高斯光束

图2：高斯光束的光束半径变化（蓝色曲线）。两条竖线代表瑞利长度，虚线表明远离束腰的渐变变化情况。
      以上方程中 z = 0对应于束腰或者焦点，在该点光束半径是最小的，相位曲线是平坦的。波前曲率半径为R的演化遵循方程：  
  

高斯光束

      在透明介质中传播时，λ是介质中的波长（非真空波长）。上面采用的其它参数和方程都不用改变，这时假设了介质是各向同性、均匀和无损耗的。

高斯光束

  图3：具有弯曲波前的高斯光束。在接近于焦点和远离焦点时曲率都很小。电场中的反正切项对应的是古依相移，对于光学谐振腔  的谐振频率非常重要。
       远场的光束发散角为：  

高斯光束

      表明束腰半径越小，波长越长，则远离束腰后光束的发散越强。高斯光束的光束参数乘积（束腰半径与远场发散角的乘积）等于 λ/π，只与波长有关。如果激光光束的光束质量是非理想的，该值会更大。       傍轴近似需要焦点处光束半径比波长大。这表明这时光束发散角不会很大，并且瑞利长度远大于光束半径。紧聚焦光束一般不能很好的满足傍轴近似，这时需要更加复杂的方法来计算光束传播情况。  


复数参数     
在z处高斯光束的状态可以由一个复数q表征：  
   

高斯光束

这样复电场可写为：  
   

高斯光束

传输一定距离可以简单的表示为该距离上q参数的增加。当高斯光束通过一个曲面镜或者透镜时， q参数变化可由ABCD矩阵表示：  
      

高斯光束

像散光束   
      在两垂直的横平面方向上，写为x和y方向，高斯光束的半径和发散角可能不同。上面给出的方程可分别用来描述每一方向上光束半径的变化。如果两个方向上的焦点位置不重合，就称该光束是像散的。

高斯光束和谐振腔模式     
      如果谐振腔是稳定的，谐振腔中的光学介质是各向同性的，介质表面要么是平坦的或者是抛物线形状的，那么光学谐振腔横向的最低阶模式（TEM00或者横向基模）就是高斯模。因此，只辐射横向基模的激光器辐射的光束接近于高斯型。而任何偏离之前描述的条件，例如，增益介质中存在热透镜效应等，都会使光束为非高斯型，同时还会激发多个纵模。更高阶纵模可由厄米-高斯方程或者拉盖尔-高斯方程来描述。任意情况下，与高斯谱型的偏离都可以由 M2因子定量表示。高斯光束具有最高的光束质量，对应的光束参量乘积最小，并且对应的M2 = 1。       光纤的基模并不严格为高斯型，但是形状与高斯型差别不是很大。因此，采用合适的光学元件，高斯光束可以有效进入单模光纤中（80%或更大）。      

高斯光束的重要性
      高斯光束的重要性体现在以下几个重要特性上：  1.在光轴的任意位置处高斯光束的强度横断面曲线都是高斯型，只是光束半径会发生变化。  2.当腔内不存在光束畸变的情况下，高斯光束为光学谐振腔的最低阶模式（谐振腔模式）。因此许多激光器的输出都是高斯光束。  3.单模光纤中的模式形状接近于高斯型。通常在计算中会采用高斯近似因为这在计算光束传播情况时相对简单。  4.高阶模式对应的是厄米-高斯型。场分布更加复杂，光束参量乘积更大。