用 Mathematica 中的阿基米德螺线和复杂代数分析太空中杂耍的模式

dannie

用 Mathematica 中的阿基米德螺线和复杂代数分析太空中杂耍的模式

太空杂耍是什么样的呢?

当我问这个问题时，我并不是想把地球杂耍放到太空。我想知道对于一个太空艺术家来说杂耍是什么样的。我努力学习并练习了这个技巧。几周前，我还在国际杂耍协会2021年冠军赛上以太空杂耍表演获得了第一名!

人体转动惯量

在我第一次抛物线飞行之前，我写了一个 Mathematica 代码来计算人体在不同位置的主要转动惯量。概述其中一些研究的文章称为“失重中人体的编舞技术”。下图是使用该笔记本生成的。

知道主轴很有用，因为最大和最小轴向我们展示了我们可以稳定旋转的轴。如果系统没有简并性，这些是身体可以稳定旋转的唯一轴。通过构造转动惯量张量(绕物体质心)来找到轴，然后找到特征值和特征向量。

在上面的图中，蓝色和红色箭头分别表示的最大和最小轴。如果身体的总角动量与这些轴之一对齐，则身体将稳定旋转并且不会摆动。我发现有趣的是，身体可以围绕腹部旋转，有点像通过围绕蓝色轴旋转的侧手翻。

在失重状态下扔球

下一个需要了解的细节是，当一个球在失重状态下投掷时，它沿直线而不是抛物线运动。

我们可以将这两条信息放在一起，考虑到一个人可以以侧手翻的方式旋转并将球扔给自己。更有趣的是，我们知道球在惯性空间中沿直线运动，但它们在旋转坐标系中的运动路径是什么？杂耍人看到了什么？

首先，我们需要一个表示杂耍人脊柱方向的函数。假设从头部到沿脊柱的位置以及杂耍者的双手之间的距离为 A。我们也可以说杂耍者以角速度 ω 旋转。因此

我们想知道从点 f[t] 到手的位置的偏移量，我们可以缩放和旋转 f[t] 来简化。

记住，任何复数向量乘以一个单位复数会旋转它，旋转角度是正实轴和这个向量的夹角。在 Mathematica 中，如果您有一个单位复向量，您可以计算这个向量的 Arg，它会告诉您旋转角度是多少。


如果我们加上 f[t] 和 g[t]，我们就会得到左手的位置。  

如果 f[t] 减去 g[t]，就得到右手的位置。

让我们快速地看一下目前为止我们都得到了什么。我们设 ω = 2 π，这样 t的值就与转数成正比。设  t = 1/8  我们可以从坐标轴上看到它。

现在我们已经有一种方法来展示身体如何在侧手翻运动中旋转。下一个需要展示一个球的运动。它会沿着直线移动。我们想从一个杂耍者的手开始，我们想它被杂耍者的手抓住。从数学上讲，这意味着轨迹将在时间 ti， 位置 开始，在时间到 τ， 结束。

代表球运动方向的向量是

太空中的球位置从初始点开始，然后在 τ 时间内移动，因此直线惯性空间的轨迹为

我们可以绘制这些轨迹。请看下面左侧图中的线。

更有趣的是观察旋转坐标系中的轨迹。上面的右图显示了杂耍者在旋转框架中看到的东西。您注意到这些球是如何以弧线运动的吗?

要在旋转坐标系中生成绘图，如上图右侧所示，只需将线函数 TL 乘以一个以相同角速度向相反方向旋转的指数函数。

阿基米德螺线

让我们仔细看看代表抛球的方程。简单地说，我们可以认为我们真的不需要指数之外的虚数，因为它只是代表旋转。我们可以以更方便的方式定义 g[t] 。

和我一起看下一组方程。在本节结束时，您会理解我为什么选择这个路径。

给出了不同版本的左手 PL 和右手 PR 位置的方程，作为时间的函数

我们可以改写为

为方便起见，我们可以定义

其中 + 用于左手位置，- 用于右手位置。现在我们可以把这些压缩成一个语句

采用另外一种约定，我们可以将投掷表示为i或捕捉表示为 f。将投掷和捕捉的位置分别表示为 Pi 和 Pf[t]。

我们现在可以重写球的线性轨迹方程。回想一下，投掷将在时间 t0 发生，捕捉在时间 τ 之后。

现在要旋转我们对球轨迹的视角，通过乘图片将整个系统旋转到相反的方向



这实际上与我们在旋转框架上绘制的函数相同。但是，如果我们看看我们的时间变量结束的地方，我们可以看到方程只是具有指数项乘以线性项。我们可以设置 t0=0, 并写

现在方程采取形式

这就是阿基米德螺旋方程。

当然，这个方程通常只有一个 a, b ∈R 而在我们的方程中我们允许 a，b∈Z。

科里奥利力和离心力

科里奥利力是在整个地球自转的上下文中考虑的。即飓风或排水。使用线性代数书写时，该力表示为 FC= -2m(ωxv')，其中m是物体的质量，ω 是角速度，v' 是物体在旋转坐标系中的速度。

离心力通常被认为是汽车快速转向或在旋转嘉年华骑行中的术语。使用线性代数，我们将力写为 Fcent=-mωx(ωxr')，其中 r' 是物体在旋转坐标系中的位置。

这些力很有趣，因为它们是“虚拟力”中最常见的形式，而这个术语通常非常令人困惑。我的困惑往往源于我们使用具有实际力作用的物理系统这一事实。就像在飓风的情况下一样，有一部分空气远离旋转轴（赤道附近），有一部分接近旋转轴（赤道以北或北）。这对我来说似乎不是“虚构”的。


在上面的数学中，我们沿着直线扔球，我们知道它不会遇到任何力，它的动量是守恒的。但是，当我们在旋转框架中查看它时，它遵循阿基米德螺旋。如果我们检查我们的解决方案 T，我们会发现 T 满足微分力方程，包括科里奥利力和离心力方程。

我们必须要么将我们的复代数移动到线性代数或反之亦然。让我们在复代数中找到上述微分方程的表示。首先，我们写

请注意，阿基米德螺线平面和我们选择的角速度与该平面垂直。这是该系统的快速图片

这意味着在阿基米德螺线仍然在实虚平面上 ω 与任意点 T、速度图片或加速度图片之间的乘积。由于是交叉乘积，所以结果总是垂直于两个输入向量。因此我们可以通过图片其中图片将交叉乘积转换为复数记号。


我们可以将我们的微分方程改写为

现在是做数学的时候了，看看四个解是否满足这个方程。首先让我们拿下导数，这样我们就可以看到它们了。

化简二阶导数

检查微分方程的右边

我们可以看到方程的每一边都是相等的

由此可见，广义阿基米德螺旋轨迹可以用科里奥利力和离心力来描述。因此，这些力是虚构的这一事实是很明显的。

总结

在我们这里发现的方程T中还有很多需要探索和理解的地方。例如，回到上面的“旋转和非旋转”操纵对象，再次运行这条线，并输入 τ = 0.3。在旋转坐标系中你会发现一个很有趣的结果。或者我们可以添加多个球，就像杂耍中常见的那样，看看它们的运动是如何实时联系在一起的。


在这次调查中，我发现了一个有趣的现象，那就是在旋转的宇宙飞船中，所有被抛出的物体都会沿着同样的路径运动。这适用于从 2001 年飞往木星的旋转飞船:太空漫游到《太空无垠》中旋转的谷神星站。尽管每一种情况下的旋转速率和半径差异会导致上面显示的螺旋的不同部分，但基本轨迹会符合我们发现的T函数。

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