近轴几何光学的数学基础——光线传输矩阵

hikarinokami

近轴几何光学研究的是光线与光轴的夹角很小的情况，并且不考虑系统有限孔径导致的衍射现象。
在上述条件下，光线传播路径上的每一点的坐标均可用一个2×1矩阵表示，简单光学元件对光线的作用可以用一个变换矩阵表示。
如下图所示，点A和光轴之间的距离为r，过点A的某条光线与光轴之间的夹角为θ。则过A点的该光线的坐标可用2×1矩阵表示：


经过光学系统变化之后的新位置参数可表示为：

其中T为光学系统的变换矩阵。
常见光学元件的变换矩阵如下：
例1：均匀介质；

其中L为均匀介质的厚度。。
例2：截面折射；

其中，n1为界面左侧介质的折射率，n2为界面右侧介质的折射率。
例3：薄透镜；

其中,f为薄透镜的焦距，凸透镜的焦距f为正值。
例4：球面反射镜；

其中，R为反射面的曲率半径。对于平面反射镜的情况，2/R=0。

基于以上公式，可以实现对单根光线的追迹。但实际应用中，对单根光线进行追迹远远不够，需要对以上模型进行扩展。

第一个问题，如何追迹物点A发出的多条光线？
由于每条光线的位置参数均可用矩阵表示，它们具有相同的r参数，区别在于孔径角θ不同。物点A发出的多条光线的追迹模型可表示为：

其中,n为追迹的光线条数。
物点A发出的多条不同孔径的光线的传播过程，可以看成球面波的传播过程。因此上述模型实际也是球面波的传播模型。

第二个问题，如何追踪无限远物点发出的平行光线？
每条光线在每个点的位置参数可用2×1矩阵表示，它们具有相同的θ参数，区别在于距离光轴的位置r不同。平行光线的追迹模型可表示为：

该模型实际也是平面波的传播模型。
实际中，只需计算出光线在不同位置处的位置参数r，即可绘制出每条光线经光学系统变换之后的轨迹。
matlab被称为矩阵实验室，非常适合求解基于矩阵的数学模型。
举几个简单的例子。
算例1：轴上物点发出的光线准直后重新聚焦；

算例2：离轴物点发出的发散光束经薄透镜变为倾斜平行光束，然后聚焦；

算例3：平行光束扩束：

算例4：倾斜平行光束的缩束；

可见，缩束带来的结果是孔径角的增大。
计算程序见附件。

光杆司令

请问，这是来自哪本书的总结？

hikarinokami

光杆司令 发表于 2022-6-6 08:49
请问，这是来自哪本书的总结？

光学元件的光学矩阵印象中工程光学中就有，多光线追踪的思路是我自己想的

第八空间

请问如果是在三维空间坐标系下，就是光线传播路径上的每一点的坐标用一个4×1矩阵表示时，有扩展ABCD矩阵的方法吗？比如球面反射镜，1和0的部分都好扩展成2×2的矩阵，但是2/R的部分，只能想到扩展成[2/R,0;0,1]，但又觉得不太对。