关于傅里叶光学的一点心得体会（不定时更新）

中大男神

在学习傅里叶光学以前，可以先弄懂基尔霍夫衍射公式的来历，从而根据衍射屏到像面的距离r与Z的关系分别得到菲涅耳近似以及夫琅和费近似，这两类近似在研究傅里叶光学成像系统时较为常见。下面截图为在PPT上所输入的关于菲涅耳近似以及夫琅和费近似的公式。

中大男神

在能够用傅里叶光学知识分析一个光学系统的输出函数表达式时，我们也应该先学习透镜的两种性质，一种是傅里叶变换性质，傅里叶变换性质主要针对物体，透镜（相位衍射屏），观察面三者的位置进行论述；另一种是成像性质，与几何光学息息相关。下面图1为当物体紧挨透镜的时候，在观察面上输出光场函数的表达式；可以知晓相对于紧靠透镜后一面的输出光场和观察面上的输出光场之间的关系为不太严谨的傅里叶变换式（亦可记为菲涅耳近似C:\Users\86136\Desktop\捕获1），而稍微变换即可知晓物函数的傅里叶变换与复常数C的乘积即为观察面输出光场的表达式。

中大男神

左图是关于昨天物体紧挨衍射屏（透镜）时，观察屏的输出光场函数表达式与物函数或者透镜最后一面光场函数的关系式

中大男神

右图是物体与透镜（相位衍射屏）离开一定距离后，再求观察屏上的输出光场函数。像上面所说的紧靠物体最后一面的光场函数与观察屏上的输出光场函数可看出菲涅耳近似（不严谨的傅里叶变换），自然物函数与紧靠透镜的前一面的光场函数也可以看作菲涅耳近似。若再按照菲涅耳近似式，将物函数等一一代入，需要算四重积分（两次菲涅耳近似），故在求物函数与紧靠透镜前一面的光场函数中可引入菲涅耳传递函数进行计算。
由于该系统是线性空间时不变系统，物函数角谱和透镜前表面场的角谱可以通过菲涅耳传递函数联系在一起。在求出透镜前表面场后，就与物体紧靠透镜一致，观察屏上的复振幅分布也自然可由上一张图片得出。当然观察屏上的复振幅分布是物函数的傅里叶变换与二次位相和复常数的乘积，特别地当d0=f时，二次位相可消去，此时就做到真正意义上的物函数傅里叶变换乘上复常数即为观察屏的复振幅分布，也可称作夫琅和费近似（因为夫琅和费衍射近似是严格意义上的傅里叶变换）

中大男神

关于第二个性质，透镜的成像性质。就是说透镜可以看成是相位衍射屏，可以对输入的光进行相位叠加，然后使出射的光束会聚或发散。示例，单透镜对平行光聚焦；单透镜对点物发出的光准直

中大男神

下面是对于之前透镜成像性质的一点补充，之前只看到了几何光学的结果，提及到了傅里叶光学中的位相变换作用，但透镜的成像性质应该是让傅里叶光学所得结果与几何光学相吻合，故于此进行补充

中大男神

关于四楼的透镜傅里叶变换性质推理图，想对上述写的空间频率做出修改。在物面与透镜前切面这段距离产生一个空间频率u,v，此时的u,v表达式如图红字所示，而从透镜后切面到像面这段距离产生另一个空间频率u,v，此时u,v的表达式也如图红字所示，这两个u,v分别代表不同传播空间，然而由空间频率定义可知，空间频率是角度余弦除以波长，与实际坐标无关，只与方向有关，传播方向相同时，空间频率相等，故可用第二个u,v代入菲涅耳传递函数中，方可得倒数第二条式子

kevinchen_buaa

请教一下，对于一个漫反射物体，在数字仿真中其灰度图像为Img，其光场是E_img = fft2(Img) 吗？还是说物面上每一个点都可以视为发光点以球面波形式exp(jkr)来描述？我对这块一直看的不是很明白

中大男神

kevinchen_buaa 发表于 2021-5-28 16:24
请教一下，对于一个漫反射物体，在数字仿真中其灰度图像为Img，其光场是E_img = fft2(Img) 吗？还是说物面 ...

一般来说在数值仿真中用fft2表示的含义是发生了夫琅禾费衍射近似或者将物平面通过透镜成像到其后焦面上；如果该漫反射物体的灰度图像为IMG，他的光场一般是E_img=A(IMG)*exp(jk*phi);在数值仿真中图像可以用矩阵来表示，这里灰度图像矩阵表示的一般是振幅，相位phi需要另设；而你所说的将物平面各点都作为点光源进行球面波出射这种其实是这个大的灰度图像矩阵中的一小块矩阵，这些点光源组成的矩阵拼凑起来就得到你大的灰度图像矩阵

chunqiulei

楼主关于夫琅禾费解析形式的求解描述超级棒，我也来补充一下衍射求解：
（1）关于夫琅禾费衍射求解，在数值计算的时候其实就是衍射面进行离散傅里叶变换，在进行傅里叶变换计算，需要考虑以下问题：是否满足采样定律（采样频率需要大于衍射面最大频率的两倍），其次数值计算会带来空间截断的问题，在频率引入sinc函数（振铃效应），常见的措施如补零操作可以抑制这个现象。
（2）关于近场计算，这个时候需要考虑chirp因子，因为近场计算不仅需要满足衍射面的采样定律，还需要让传递函数满足采样定律，而传递函数是传输距离z的函数，不同传播距离z频率采样条件是不一样的
（3）当前的数值计算方法：（1）T-FFT (2)S-FFT (3)AS，如果需要代码可以联系我。
（4）根据上述的方法，或者说是根据设计的光学系统，评估该光学系统的传递函数，可以估计出相应的MTF、PSF、波前等信息。